voraussichtliche Laufzeit: 01.09.2020–31.08.2025
FWF-Forschungsförderungsprojekt
Projektleiter: Prof. Dirk PRAETORIOUS (E101)

Viele Probleme in Technik und Naturwissenschaften werden durch sogenannte partielle Differentialgleichungen beschrieben. Für viele Differentialgleichungen kann man mathematisch beweisen, dass eine eindeutige Lösung existiert, für die wenigsten Differentialgleichungen kann man aber die Lösung als Formel hinschreiben. Deshalb  bedarf die quantitative Auswertung der Lösung zumeist numerischer Verfahren, die die unbekannte Lösung möglichst genau approximieren. Hierbei sind verschiedene Fehlerquellen beim Gesamtfehler zu berücksichtigen: Der Diskretisierungsfehler misst den unvermeidlichen Fehler, der dadurch entsteht, dass man einen unendlich-dimensionalen Funktionenraum (in dem die exakte Lösung liegt) durch einen endlich-dimensionalen Finite-Elemente-Raum ersetzt. Der Linearisierungsfehler misst den Fehler, der dadurch entsteht, dass man auftretende nichtlineare Gleichungen beispielsweise mit dem Newton-Verfahren in eine Folge von linearen Problemen überführt. Schließlich sind die auftretenden linearen Gleichungssysteme in der Praxis sehr groß und werden deshalb nicht mehr exakt, sondern nur noch durch iterative algebraische Verfahren gelöst, was auf zusätzliche algebraische Fehler führt.

Im FWF-geförderten Forschungsprojekt Computational nonlinear PDEs (https://www.doi.org/10.55776/P33216, öffnet eine externe URL in einem neuen Fenster) werden mathematische Werkzeuge und adaptive Algorithmen entwickelt, die Diskretisierungsfehler, Linearisierungsfehler und algebraische Fehler zuverlässig kontrollieren und austarieren, sodass der Gesamtfehler optimal mit Rechenaufwand und Rechenzeit fällt. Dadurch kann man garantieren, dass die numerische Simulation in minimaler Zeit eine Approximation berechnet, deren Fehler zur (unbekannten) exakten Lösung der Differentialgleichung eine beliebige Toleranz nicht überschreitet. In einer modernen hochtechnologisierten Welt sind solche optimalen Algorithmen relevant, weil der Energiebedarf der Computer zumeist mit Rechenaufwand und -zeit skaliert.

Projektmitarbeiter_innen: Dr. Philipp BRINGMANN, Dr. Maximilian BRUNNER, Dr. Ani MIRACI, Dr. Julian STREITBERGER