Die Vorlesung Funktionalanalysis 3 ist 3 stündig und findet via Youtube statt!!!! Links siehe weiter unten!

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In der 1. Vorlesung vom 4.3. habe ich folgende Resultate aus dem überarbeiteten Topologiekapitel, öffnet eine Datei in einem neuen Fenster des Analaysis 2 Skriptums durchgenommen:

Proposition 12.5.8, Proposition 12.5.9, Lemma 12.15.6, Satz 12.15.7


In der 2. Vorlesung vom 9.3.:
Für separable Banachräume X und w*-kompakte Teilmengen K von X' ist (K,w*|_K) metrisierbar.

(Für dichte und abzählbare Teilmenge M von X sind die abzählbar vielen Funktionen \iota(m)|_K mit m aus M stetig auf (K,w*|_K) und auch punktetrennend, da für Elemente x', y' aus K aus x'(m)=\iota(m)|_K(x')=\iota(m)|_K(y')=y'(m) für alle m aus M wegen der Dichtheit von M sogar x'=y' folgt. Die Aussage folgt aus Satz 12.15.7 aus der ersten Vorlesung.)

Für separable Banachräume X und w-kompakte Teilmengen K von X ist (K,w|_K) metrisierbar. Zudem gibt es Folge f_n aus X', n\in N, mit ||x|| = sup_{n\in N} |f_n(x)| für alle x aus X.

(Wegen Proposition 12.7.5 (Link aus der ersten Vorlesung) ist mit X ist auch K_1^X(0)\U_1^X(0) separabel, womit es abzählbare, dichte Teilmenge M davon gibt. Nach Hahn-Banach gibt es zu m aus M ein f_m aus X' mit Norm 1 und f_m(m)=1. Für z aus K_1^X(0)\U_1^X(0), \epsilon>0 und m aus M mit \|z-m\|<\epsilon folgt |f_m(z)| \geq |f_m(m)| - |f_m(m-z)| > 1-\epsilon, womit sup_{m\in M} |f_m(z)| = 1 und wegen der Linearität allgemein sup_{m\in M} |f_m(x)| =\|x\| für alle x aus X. Die Menge aller f_m|_K mit m aus M ist eine abzählbare stetiger Funktionen auf (K,w|_K), wobei für x, y aus K mit f_m|_K(x)=f_m|_K(y) für alle m aus M folgt, dass \|x-y\| =sup_{m\in M} |f_m(x-y)| = 0. Also ist diese Menge punktetrennend. Die erste Aussage folgt aus Satz 12.15.7 aus der ersten Vorlesung.)

Definition von Häufungspunkt einer Menge und Häufungspunkt eines Netzes in topologischen Raum. (siehe Definition 12.2.9 und Abschnitt 12.3 mit Link aus der ersten Vorlesung)

Definition von abzählbar kompakten und folgenkompakten Teilmengen eines topologischen Raums (siehe Definition 12.12.5 mit Link aus der ersten Vorlesung).

In (T2) Räumen X ist eine Teilmenge A genau dann abzählbar kompakt, wenn jede Folge in A Häufingspunkt in A hat.

(=>: Ist (x_n) Folge aus A mit endlicher Bildmenge, so sind abzählbar viele x_n gleich einem x in A, weshalb es für jede Umgebung U von x und jedes n aus N ein k aus N gibt mit k>=n und x_k = x \in U. Also ist x ein Häufungspunkt von (x_n). Ist die Bildmenge von (x_n) unendlich, so hat diese einen Häufungspunkt x, womit der Durchschnitt von jeder Umgebung U von x mit {x_n: n \in N}\setminus {x} nicht leer ist. Wegen (T2) enthält dieser Durchschnitt unendlich viele Punkte. Folglich gibt es zu jeder Umgebung U von x und zu jedem n aus N ein k aus N mit k >= n derart, dass x_k aus U ist, womit x ein Häufungspunkt von (x_n) ist. <=: Ist eine Teilmenge H von A unendlich, so gibt es eine Folge (x_n), deren Bildmenge in H enthalten ist, mit x_n ungleich x_k für n ungleich k. Ein Häufungspunkt x von (x_n) kann folglich nur mit höchstens einem x_k übereinstimmen, weshalb x Häufungspunkt von {x_n: n\in N} und daher auch von H ist.)

In metrischen Räumen sind die Begriffe abzählbar kompakt, folgenkompakt und kompakt äquivalent (siehe Bemerkung 12.15.5 mit Link aus der ersten Vorlesung).

In der 3. Vorlesung vom 10.3.:

Ist f: X \to Y stetig und A eine Teilmenge von X abzählbar kompakt mit (T2) Räumen X und Y, so ist auch f(A) abzählbar kompakt. Hat eine Teilmenge A von X die Eigenschaft, dass jede Folge aus A einen Häufungspunkt in X hat, so hat auch f(A) diese Eigenschaft.

(Sei f: X \to Y stetig und eine Teilmenge A von X abzählbar kompakt. Ist (y_n) eine Folge aus f(A) und (x_n) eine aus A mit f(x_n)=y_n, so hat (x_n) ein gegen ein x aus A (x aus X) konvergentes Teilnetz (x_n(i))_{i\in I}. Wegen der Stetigkeit konvergiert (y_n(i))_{i\in I} gegen f(x) \in f(A) (f(x) \in Y).)

Der Abschluss c(A) einer Menge A in einem metrischen Raum X, wobei A die Eigenschaft hat, dass jede Folge aus A einen Häufungspunkt in X hat, ist abzählbar kompakt.

(Für eine Folge (x_n) eine aus c(A) sei (y_n) eine Folge aus A mit d(x_n,y_n)<1/n. Ein Häufungspunkt in X von (y_n) ist auch ein Häufungspunkt von (x_n) und liegt in c(A).)

Jede bezüglich der schwachen Topologie abzählbar kompakte Teilmenge eines Banachraumes ist beschränkt; das gilt auch für Teilmengen A eines Banachraumes X, so dass jede Folge aus A einen Häufungspunkt bezüglich der schwachen Topologie in X hat.

(Habe die Teilmenge A von X besagte Eigenschaft. Jedes f aus X' stellt eine stetige Abbildung von dem (T2) Raum X mit der schwachen Topologie in den (T2) Raum C das, weshalb aus dem vorletzten Resultat folgt, dass jede Folge aus f(A) einen Häufungspunkt in den komplexen Zaheln C hat. Nach dem vorherigen Resultat ist der Abschluss von f(A) in C abzählbar kompakt. Da C mit einer metrischen Topologie versehen ist, erhalten wir die Kompaktheit und folglich die Beschränktheit vom Abschluss von f(A) in C. Die Aussage folgt dann mit dem Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit angewendet auf X' und {iota(x) : x\in A} als Teilmenge von L_b(X',\bb C).)

Beweis dafür, dass jede bezüglich der schwachen Topologie kompakte Teilmenge eines Banachraumes folgendkompakt und somit auch abzählbar kompakt ist.

(Folgt aus dem zweiten und dem letzten Resultat der zweiten Vorlesung.)

Beweis dafür, dass jede Teilmenge A eines Banachraumes X mit schwach kompaktem Abschluss (bzgl. der schwachen Topologie) die Eigenschaft hat, dass jede Folge eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in X hat.

(Folgt aus dem vorherigen Resultat.)

Sei X ein normierter Raum. Zu jedem endlich dimensionalen Unterraum F von X' gibt es x_1,...,x_n in X mit ||x'|| <= 2max(|x'(x_1)|,...,|x'(x_n|) für alle x'\in F.

(K^F_1(0)\ U^F_1(0) \subseteq F \subseteq X' ist wegen \dim F < \infty bezüglich der Norm auf X' kompakt, womit es wegen der totalen Beschränktheit z_1',....,z_n' aus F mit \|z_j'\|=1 derart gibt, dass für jedes z' aus F mit Norm eins \|z'-z_j'\|< 1/4 für mindestens ein j gilt. Für jedes k gilt wegen \|z_k'\|=1 die Ungleichung |z_k'(x_k)|> 3/4 für ein gewisses x_k aus X mit Norm 1. Für z' aus F mit Norm eins und einem j mit \|z'-z_j'\|< 1/4 gilt |z'(x_j)| >= |z_j'(x_j)| - |(z'-z_j')(x_j)| > 1/2, weshalb max(|z'(x_1)|,...,|z'(x_n|) >= 1/2. Für beliebiges x'\in F folgt die behauptete Ungleichung, weil 1/\|x'\| x' Norm eins hat.)

Coronabedingt ....

.... findet die Vorlesung ab dem 16.3. zunächst einmal bis Ostern nicht im gewohnten Format statt; bezüglich der Übung siehe die Homepage der Übung Funktionalanalysis 3!

Ich werde die Vorlesung nach und nach auf einem Zettel machen, dazu sprechen und mit einem Smartphone aufnehmen. Die Videodateien werden dann über Youtube zur Verfügung gestellt,

wobei wegen der nicht berauschenden Qualität ein Anschauen im Vollbildmodus empfohlen wird. Bisherige Vorlesungen via Youtube:

Corona1, öffnet eine externe URL   (8:10) Fotos dazu:   Bild1, öffnet eine Datei

(X mit schwacher Topologie ist homöomorph zu \iota(X) versehen mit der Spurtopologie der schwach*-Topologie)

Corona2, öffnet eine externe URL   (31:51) Fotos dazu:   Bild1, öffnet eine Datei - Bild2, öffnet eine Datei - Bild3, öffnet eine Datei

(Beweis der entscheidenden Implikation vom Satz von Eberlein-Smulian)

Corona3, öffnet eine externe URL   (23:59) Fotos dazu:   Bild1, öffnet eine Datei - Bild2, öffnet eine Datei - Bild3, öffnet eine Datei

(Fortsetzung des Beweises der entscheidenden Implikation vom Satz von Eberlein-Smulian)

Corona4, öffnet eine externe URL   (7:13) Fotos dazu:   Bild1, öffnet eine Datei

(Zusammenfassung und Wiederholung von Eberlein-Smulian)

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(Äquivalentes zur Reflexivität als Folgerung von Eberlein-Smulian)

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(Schwache Kompaktheit von linearen Abbildungen)

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(Zur schwachen Kompaktheit von lineareen Abbildungen Äquivalentes)

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(Eigenschaften schwach kompakter Abbildungen)

 

Entspricht ca. dem Stoff vom 23. März:

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(Verallgemeinerte l_p Räume)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 30. März:

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(Satz von Davis-Figel-Johnson-Pelczynski über die Faktorisierbarkeit schwach kompakter Abbildungen)

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(Der schwache Abschluss der konvexen Hülle von Teilmengen eines Banachraumes mit schwach kompakten schwachen Abschluss ist wieder schwach kompakt.)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 20. und 21. April:

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(Schwach stetige Halbgruppen)

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(Schwache Messbarkeit von Banachraumwertigen Funktionen, Integral von schwach messbaren Funktionen mit Werten in einem separablen Banachraum und integrierbarer Norm)

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(Bochner-Integrierbarkeit und Bochner-Integral, Linearität und Verträglichkeit mit beschränkten linearen Abbildungen des Bochner-Integrals)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 27. April:

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(Satz von der beschränkten Konvergenz, L^1-Räume Banachraumwertiger Funktionen)

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(Unbedingte Konvergenz von Reihen in Banachräumen)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 4. und 5. Mai:

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(Funktionalanalytische Charakterisierung der unbedingte Konvergenz von Reihen)

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(Messbare Treppenfunktionen)

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(Approximierbarkeit von Bochner-integrierbaren Funktionen durch Bochner-integrierbare Treppenfunktionen)

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(\sigma-additive Mengenfunktion induziert durch eine Bochner-integrierbare Funktion)

 

Entspricht ca. dem Stoff vom 11. Mai:

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(Satz von Orlicz-Pettis samt Beweis)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 18. und 19. Mai:

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(Banachraumwertige Maße)

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(Schwache Banachraumwertige Maße sind  Banachraumwertige Maße und Variation von Banachraumwertigen Maßen)

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(Variation von von Bochner-integrierbaren Funktionen erzeugten Banachraumwertigen Maßen)

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(Beispiel für: Nicht alle Banachraumwertige Maße von beschränkter Variation werden durch Bochner-integrierbare Funktionen erzeugt)

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(Integrale von Skalarwertigen Funktionen nach einem Banachraumwertigen Maß mit beschränkter Variation)

 

Entspricht ca. dem Stoff vom 25. Mai:

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(Banachräume mit der Radon-Nikodym Eigenschaft, Definition und Beispiele)

 

Entsprichen ca. dem Stoff vom 8. Juni:

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(Radon-Nikodym Eigenschaft ist äquivalent zur Darstellbarkeit von T: L_1 \to X)

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(Äquivalente Bedingung zur Darstellbarkeit von T: L_1 \to X )

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 15. und 16. Juni:

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(Dentability impliziert RNP)

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(Bedningter Erwartungswert)

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(Bedingter Erwartungswert für Banachraumwertige Funktionen und Martingale)

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(RNP impliziert L_1-Konvergenz von C-wertigen Martingalen)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 22. Juni:

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(L_1-Konvergenz von C-wertigen Martingalen impliziert Dentability von C)

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(Zusammenfassung von dem, was zu RNP äquivalent ist: RNP <=> Dentability aller abg. konvexen Teilmengen <=> L_1-Konvergenz von C-wertigen Martingalen)

 

Entsprechen ca. dem Stoff vom 29. und 30. Juni:

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(Schwach kompakte, konvexe Mengen haben die RNP)

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(Beschränkte schwach*-Topologie)

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(Der Satz von Krein-Smulian)

 

Corona-Wie's gegangen ist, öffnet eine externe URL

Verwendete Literatur:

Resultate aus Topologie und Metrisierbarkeit in Banachräumen vom Anfang der Vorlesung: Fundament Analysis und Skriptum Funktionalanalysis 1 (aktuelle Version)

Eberlein-Smulian und schwach kompakte Abbildungen: Functional Analysis, An Introduction to Banach Space Theory, Terry Morrison

Satz von Davis-Figel-Johnson-Pelczynski und Satz über abgeschlossene konvexe Hülle einer schwach kompakten Menge: Banach Spaces For Analysts, P. Wojtaszczyk

Schwach stetige Halbgruppen: Bacc-Arbeit von Florian Richter (von Seite der Bac-Arbeiten).

Bochner Integral: Bacc-Arbeit von Katerina Uncovska (von Seite der Bac-Arbeiten).

Unbedingte Konvergenz: Fundament Analysis und Banach Spaces For Analysts

Satz von Orlicz-Pettis: Sequences and Series in Banach Spaces, Joseph Diestel

Banachraumwertige Maße bis Radon-Nikodym-Eigenschaft: Geometric Nonlinear Functional Analysis, Yoav Benyamini, Joram Lindenstrauss;

siehe auch Vector measures by Joseph Diestel, John Jerry Uhl (etwas zu umfangreich für Nichtexperten auf dem Gebiet)

Satz Krein-Smulian: Funktionalanalysis 1 Skriptum (aktuelle Version)

Vorwissen:

Als Vorwissen sollte ihnen der Stoff der Funktionalanalysis 1 und teilweise Funktionalanalysis 2 geläufig sein.